GRAF CAYLEY PADA GRUP DIHEDRAL D2n

Abstract

Misalkan G adalah grup berhingga dan H adalah subhimpunan inverse-closed dari G di mana e < H dan h ∈ H → h−1 ∈ H, maka graf Cayley Γ = Cay (G, H) adalah graf yang dibentuk dari grup G dengan himpunan simpul V(Γ) = G dan himpunan sisi E(Γ) = {(g, gh)|g ∈ G, h ∈ H}. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan jenis graf Cayley pada grup dihedral D2n dengan menggunakan metode kajian studi literatur. Grup G dikatakan grup dihedral dengan order 2n, n ≥ 3, adalah grup yang dibangun oleh dua elemen a, b dengan G = D2n = ⟨a, b|an = e, b2 = e, bab−1 = a−1⟩. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jenis graf Cayley pada grup dihedral D2n bergantung pada struktur subhimpunan H. Graf tersebut dapat berbentuk graf k-reguler jika |H| = k , graf lintasan nP2 jika |H| = 1, graf siklus 2kCn/k jika H = {ai, a−i} dengan FPB(n, i) = k, dan graf lengkap K2n jika |H| = 2n−1. Selain itu, hasil penelitian ini juga mengidentifikasi syarat-syarat keterhubungan graf Cayley pada grup dihedral D2n, yaitu bahwa graf akan terhubung jika terdapat himpunan S dimana S ⊆ H dan S = {ai, a−i, aib} dengan FPB(n, i) = 1 atau jika S = {aib, ajb} dengan o((aib)(ajb)) = n.

Let G be a finite group, and let H be an inverse-closed subset of G where e < H and h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H. The Cayley graph Γ = Cay(G, H) is the graph constructed from the group G with vertex set V(Γ) = G and edge set E(Γ) = {(g, gh) | g ∈ G, h ∈ H}. This study aims to determine the types of Cayley graphs on the dihedral group D2n using a literature review approach. The group G is called a dihedral group of order 2n, n ≥ 3, which is generated by two elements a and b with G = D2n = ⟨a, b | an = e, b2 = e, bab−1 = a−1⟩. The results of this study indicate that the type of Cayley graph on the dihedral group depends on the structure of the subset H. This graph can take the form of a k regular graph if |H| = k, a path graph nP2 if |H| = 1, a cycle graph 2kCn/k if H = {ai, a−i} with gcd(n, i) = k, and a complete graph K2n if |H| = 2n − 1. Additionally, this study identifies the conditions for connectivity of the Cayley graph on the dihedral group D2n, where the graph is connected if there exists a set S such that S ⊆ H and S = {ai, a−i, aib} with gcd(n, i) = 1 or if S = {aib, ajb} with o((aib)(ajb)) = n.