Bentuk-bentuk Ideal pada Semiring (Z+, +,.) dan Semiring (Z+, ?, *)

Abstract

Himpunan bilangan bulat taknegatif, yaitu (Z+,+,.) merupakan semiring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, sedangkan himpunan (Z+,⊕,*) juga merupakan semiring terhadap operasi penjumlahan ⊕ dan perkalian yang didefi nisikan sebagai berikut: untuk setiap a,b∈Z+ berlaku a ⊕ b=FPB(a,b) dan a*b=KPK(a,b). Pada semiring R, himpunan bagian I dari R disebut ideal pada R jika a,b ∈ I dan r ∈ R maka a+b ∈ I dan ra, ar ∈ I . Pada artikel ini ditunjukkan bentukbentuk ideal pada semiring (Z+,+,.) dan bentuk-bentuk ideal pada semiring (Z+,⊕,*) serta menunjukkan hubungan satu ideal dengan ideal yang lain. Bentuk-bentuk ideal yang ditunjukkan adalah ideal maksimal, ideal substraktif, Q-ideal, ideal prima, ideal semiprima dan ideal primary.

The set of nonnegative integers (Z+,+,.) is a semiring of the usual operations of addition and multiplication otherwise set (Z+,⊕,*) is also a semiring of the addition operation ⊕ and multiplication defi ned as follows: for each a,b∈Z+applies a ⊕ b=gcd(a,b) and a*b=lcm(a,b). At semiring R, a subset I of Ris called an ideal in R if a,b ∈ I and r ∈ R, then a+b ∈ I and ra, ar ∈ I In this paper will be shown the forms of the ideal on the semiring (Z+,+,.) and forms of the ideal on the semiring (Z+,⊕,*) and shows the relationship of the ideal with the other ideal. Ideal form sthat will be shown is the maximal ideal, substractive ideal, Q-ideal, prime ideal, and the semiprime ideal and, primary ideal.