Bentuk-bentuk Ideal pada Semiring (Z+, +,.) dan Semiring (Z+, ⊕, *)

Authors

  • Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember
  • Soleha Soleha Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember
  • Ruzika Rimadhany Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Abstract

Himpunan bilangan bulat taknegatif, yaitu (Z+,+,.) merupakan semiring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, sedangkan himpunan (Z+,⊕,*) juga merupakan semiring terhadap operasi penjumlahan ⊕ dan perkalian yang didefi nisikan sebagai berikut: untuk setiap a,b∈Z+ berlaku a ⊕ b=FPB(a,b) dan a*b=KPK(a,b). Pada semiring R, himpunan bagian I dari R disebut ideal pada R jika a,b ∈ I dan r ∈ R maka a+b ∈ I dan ra, ar ∈ I . Pada artikel ini ditunjukkan bentukbentuk ideal pada semiring (Z+,+,.) dan bentuk-bentuk ideal pada semiring (Z+,⊕,*) serta menunjukkan hubungan satu ideal dengan ideal yang lain. Bentuk-bentuk ideal yang ditunjukkan adalah ideal maksimal, ideal substraktif, Q-ideal, ideal prima, ideal semiprima dan ideal primary.

 

The set of nonnegative integers (Z+,+,.) is a semiring of the usual operations of addition and multiplication otherwise set (Z+,⊕,*) is also a semiring of the addition operation ⊕ and multiplication defi ned as follows: for each a,b∈Z+applies a ⊕ b=gcd(a,b) and a*b=lcm(a,b). At semiring R, a subset I of Ris called an ideal in R if a,b ∈ I and r ∈ R, then a+b ∈ I and ra, ar ∈ I In this paper will be shown the forms of the ideal on the semiring (Z+,+,.) and forms of the ideal on the semiring (Z+,⊕,*) and shows the relationship of the ideal with the other ideal. Ideal form sthat will be shown is the maximal ideal, substractive ideal, Q-ideal, prime ideal, and the semiprime ideal and, primary ideal.

References

Chaudhari JN and Ingale KJ, 2012. A Note on Strongly Euclidean Semirings. International Journal of Algebra, 6: 271-275. Web publication http://www.m-hikari.com/ija/ija-2012/ija-5-8-2012/chaudhariIJA5-8-2012-2.pdf.

Gupta V & Chaudhari JN, 2009. Prime Ideals in Semiring. Bulletin of Malaysian Mathematical Science Society. Http: //math. usm.my /bulletin. Diunduh tanggal 2 Februari 2010.

Khanna VJ, 1993. A Course in Abstract Algebra. Department of Mathematics, Kirori Mal ollege, University of Delhi: Vikas Publishing House PVT LYD.

Setyawati DW, 2005. Ideal-p Kiri Utama dalam Semiring Inversive Regular-p. Sains dan Sibernatika Pascasarjana Ilmu-ilmu Sains Universitas Gadjah Mada; 18: 111.

Setyawati DW, 2011. Ideal prime pada Semiring Dnxn(Z+). Jurnal Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang; 14: 1418.

Setyawati DW & Soleha, 2013. Ideal prime pada Semiring Snxn(Z+). Makalah. Disampaikan pada Seminar Nasional Himpunan Peminat Aljabar ke-21, Universitas Negeri Malang 2021 April 2013.

Downloads

Published

2016-11-04
Abstract views: 268 , PDF Downloads: 415